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动态法测量杨氏模量(DOC)

作者:永乐国际 来源:永乐国际 日期:2021-02-09 04:23 人气:

  实验四 动态法测定材料杨氏模量 杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数,它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 杨氏模量测量方法有多种, 最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量, 这属于静态 法测量,这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料,对如玻璃及陶瓷之类 的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性,在实际应用中已经被 广泛采用,也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动 态法”测出试样振动时的固有基频,并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。 一、实验目的 1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2.掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。 3.培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4.进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。 二、实验原理 长度 L 远远大于直径 d(Ld)的一细长棒,作微小横振动(弯曲振动)时满足的动 力学方程 (横振动方程) 为 : ?4 y ? s ?2 y ? ?0 ?x 4 YJ ?t 2 (1) 式中 ? 为棒的密度,S 为棒的截面积,J 称为惯量矩(取决于截面的形状),Y 为杨氏模 量。 解以上方程的具体过程如下(不要求掌握) : 用分离变量法:令 y( x, t ) ? X ( x)T (t ) 代入方程(1)得: 1 d4 X ?s 1 d 2T ? ? X dx 4 YJ T dt 2 4 等式两边分别是 x 和 t 的函数, 这只有都等于一个才有可能, 设该为 K , 于是得: d4 X ? K4X ? 0 dx 4 d 2T K 4YJ ? T ?0 ?s dt 2 这两个线形常微分方程的通解分别为: X ( x) ? B1chKx ? B2 shKx ? B3 cos Kx ? B4 sin Kx T (t ) ? A cos(? t ? ? ) 于是解振动方程式得通解为: y( x, t ) ? ( B1chKx ? B2 shKx ? B3 cos Kx ? B4 sin Kx) A cos(? t ? ? ) 其中式(2)称为频率公式: ??? ? K YJ ? ? ? ?s ? 4 1 2 (2) 该公式对任意形状的截面,不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件 定出 K ,并将其代入特定截面的转动惯量 J ,就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近,则其边界条件为端横向作用力: F ?? 弯矩 : ?M ?3 y ? ?YJ 3 ? 0 ?x ?x ?2 y ?0 ?x 2 M ? YJ 即 d3X ?0 dx 3 x ?0 d2X ?0 dx 2 x ?0 d3X ?0 dx 3 x ?l d2X ?0 dx 2 x ?l 将通解代入边界条件, 得到 cos KLchKL ? 1 , 用数值解法求得本征值 K 和棒长 L 应满足: KL ? 0, 4.7300 , 7.8532 , 10.9956 , 14.137, 17.279, 20.420??, 由于其中第一个根“ 0 ”对应于静态情况,故将其舍去。将第二个根作为第一个根, 记作 K 1 L 。一般将 K1 L ? 4.7300所对应的共振频率称为基频(或称作固有频率) 。在上 述 K n L 值中,1,3,5?个数值对应着“对称形振动”, 第 2、4、6?个数值对应着“反对 称形振动” 。图 1 给出了当 n ? 1, 2, 3, 4 时的振动波形。由 n ? 1 图可以看出,试样在作 基频振动时,存在两个节点,它们的距离端面分别为 0.224 L 和 0.776 L 处。理论上悬 -1- 挂点(支撑点)应取在节点处, 但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振, 为此, 可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑),用外推法找出节点处的共振频率。将第一本征 值K ? 4.7300 代入(2)式,得到振动的固有频率(即基频) : L ? ?4.7300 ?4 YJ ? 2 ??? ? ?l 4 s ? ? 解出杨氏模量: 1 Y ? 1.9978? 10?3 ?L4 s J ?2 2 ? 7.8870? 10?2 ? 对于圆棒: L3 m f J J ? ? y 2 ds ? s( d 2 ) 4 式中 d 为圆棒的直径。 得到杨氏模量的表达式为: L3 m Y ? 1.6 0 6 ? 7 4 f d 2 (3) 上式即为(1)式的解。式中 L 为棒长, d 为棒的直径, m 为棒的质量。如果在实验中测 定出试样(棒)在不同温度时的固有频率 f ,即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨 氏模量 Y 。在国际单位制中杨氏模量的单位为( Nm ?2 ) 。 -2- 本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率,实验时可 采用如图 2 所示装置。 由信号发生器输出的等幅正弦波信号,加在传感器 I(激振)上。通过传感器 I 把电信 号转变成机械振动,再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样,使试样受迫作横向振动。试样 另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器 II(拾振) ,这时机械振动又转变成电信号。 该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时,试样 不发生共振,示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共 振频率时,试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大,这时读出的频率就是试样在该 温度下的共振频率。根据(3)式,即可计算出该温度下的杨氏模量。 图 3 动态杨氏模量测 试 台 -3- 三、实验仪器 1.FB2729A 型动态杨氏模量实验仪 2.通用双踪示波器 1 台; 1 套; 3.天平、游标卡尺、螺旋测微计等。 四、实验内容 先 按 图 4 把 实 验 仪 器 连 接



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