2021年 02月 09日 星期二

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动态法测量杨氏模量

作者:永乐国际 来源:永乐国际 日期:2021-02-09 04:23 人气:

  南昌大学大学物理实验报告 学生姓名:___________ 实验时间:_____时_____分 学号:_______________ 第____周 星期:______ 专业班级:______________ 座位号:________ 动态法测量杨氏模量 一.实验目的 1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,熟悉信号源和示波器的使用。 二.实验原理 如图 1 所示, 长度 L 远远大于直径 d (Ld) 的一细长棒, 作微小横振动 (弯 曲振动)时满足的动力学方程(横振动方程)为棒的轴线 EJ ?t 2 (1) y 0 x 图 1 L x 式中 y 为棒上距左端 x 处截面的 y 方向位移, 为杨氏模量, E 单位为 Pa 或 N/m?; ρ 为材料密度,S 为截面面积,J 为某一截面的转动惯量,J= ?? y 2 ds 。 S 横振动方程的边界条件为:棒的两端(x=0,L)是端,端点既不受正应 力也不受切向力。用分离变量法求解方程(1) ,令 y(x,t)=X(x)T(t) ,既 有 1 d4 ? S 1 d 2T =? X dx 4 EJ T dt 2 (2) 由于等式两边分别是两个变量 x 和 t 的函数,所以只有当等式两边都等于两边都 等于同一个时等式才成立,假设此为 K 4 ,则可得到下列两个方程 d4 X ? K4X ? 0 4 dx (3) d 2T K 4 EJ + T ?0 dt 2 ?S 如果棒中每点都作简谐振动,则上述两方程的通解分别为 (4) ? X (x)=a1chKx+a 2 shKx ? a3 cos Kx ? a4 sin Kx ? ? ? ? (5) ?T (t ) ? b cos(?t ? ? ) ? ? 于是可以得出 y(x,t)=( a1chKx+a 2 shKx ? a3 cos Kx ? a4 sin Kx ) ? b cos(?t ? ? ) 式中 (6) ? ?[ K 4 EJ 1 ]2 ?S (7) 式中(7)称为频率公式,适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样 的悬挂点(或支撑点)在试样的节点,则根据边界条件得到 cosKL?chKL=1 (8) 采用数值法可以得出本征值 K 和棒长 L 应满足如下关系: KnL=0,4.730,7.835,10.996,14.137,…… (9) 其中第一根 K0 L =0 对应试样静止状态; 第二根记为 K1L =4.730, 所对应的试样振 动频率称为基振频率(基频)或者称为固有频率,此时的振动状态如图 2 所示, 第三根 K2 L =7.853 所对应的振动状态如图 3 所示,称为一次谐波。由此可知,试 样在作基频振动时存在两个节点,它们的分别距端面 0.224L 和 0.776L。将 基频对应的 K1 值代入频率公式,可得到杨氏模量为 E = 1.9978 ?10-3 ? L4 S J ? 2 ? 7.8870 ?10?2 L3m 2 f E J (10) 图2 如果试样为圆棒(dL) ,则 J ? L3m 2 f d4 图3 ?d4 64 ,所以式(10)可改写为 E ? 1.6067 (11) 同样,对于矩形棒试样则有 E矩 =6.9464 L3m 2 f bh 3 (12) 式中,m 为棒的质量,f 为基频振动的固有频率,d 为圆棒直径,b 和 h 分别为 矩形棒的宽度和高度。 如果,圆棒试样不能满足 dL 时,式(11)应乘以一个修正系数,T1,即 L3m E ? 1 . 6 0 6 74 d 2 f T1 (13) 式(13)中的修正系数 T1 可以根据径长比 d/L 的泊松比有 径长比与修正系数的对应关系 径长比 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.010 d/L 修正系 1.001 1.002 1.005 1.008 1.014 1.019 1.038 1.055 数 T1 由式(10)~(12)可知,对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算 试样的动态杨氏模量, 所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有 频率。 本实验只能测出试样的共振频率,物体固有频率 f 固和共振频率 f 共是相关 的两个不同概念,二者之间的关系为 f固 = 共 f 1 1+ 2 4Q (14) 式(14)中 Q 为试样的机械品质因数。一般 Q 值远大于 50,共振频率和固有频 率相比只偏低 0.005%,两者相差很小,通常忽略二者的差别,用共振频率代替 固有频率。 试样在做基频振动时,存在两个节点,分别在 0.2241 和 0.7761 处,显然节 点是不振动的, 实验时支撑点不能放在节点处,而本实验又同时要求在试样两端 的条件下,检测出共振频率。显然这两条矛盾的。支撑点离节点越远,可以 检测到的共振信号就越强,但试样受外力越大,这样产生的系统误差就越大。图 4 为两端杆基频弯曲振动波形。 0.224L 图4 0.776L 为了消除误差, 可采用内插法测量法测出换能器支撑点在节点时,式样的共 振频率,具体测量法是改变支撑点的,逐步测出试样的共振频率 f,设试样 端面离支撑点的距离为 x,以 x/l 为横坐标,共振频率 f 为纵坐标,用 orgin 耦合 一下数据,求出最低点。 三、实验仪器和装置 电源,铜棒,螺旋测微计,游标卡尺,天平,示波器,信号发生器,换能 器。 图5 四、实验步骤 1,用螺旋测微计测量试样的直径。 2,游标卡尺测量试样的长度。 3,用天平测量棒的质量。 4,支撑法测量步骤: (1) 安装试样棒。将棒放在支撑架上,保持棒横向水平,换能器到试样棒 端点的距离相同。 (2) 连接测量仪器。动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入 端,拾振信号的输入端接拾振器的输出端,拾振信号的输出端接示波 器 Y 通道。 将示波器 X 通道接激振信号的输出端, 用李萨如图形测量。 (3) 开机调试。仪器电源,调节示波器处于正常工作状态,信号发生 器的频率置于 5kHz 挡,连续调节输出频率,此时激发换能器应发出 声响。轻敲桌面,示波器 Y 轴信号大小立即变动并与敲击强度有关, 说明该装置已处于工作状态。 ,说明该装置已处于工作状态。 ,说明该 装置已处于工作状态。 (4) 检频与测量。由低到节信号发生器的输出频率,正确找出试样棒 的基频共振状态,从频率计上读出共振频率。 (5) 测量基频共振频率。在两节点两侧各取几个测试点,各点间隔 5mm 左右, 从外向内依次同时移动两个支撑点的, 每次移动 5mm, 测出不同处基频共振频率。 5,根据公式(13)计算杨氏模量。 五,数据处理 实验数据如下 棒长 L=178mm,棒直径 D=8mm,棒质量 m=75g,T1 =0.04 距离 x/mm 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 x/l 频率 f/Hz 0.028 0.056 0.084 0.112 0.140 0.169 0.197 0.225 0.253 763.364 761.658 759.191 756.413 754.493 753.001 752.802 节点附近 751.992 耦合的曲线如图 最低点 x/l=0.02243 f=751.778Hz 利用公式 E ? 1.6067 L3m 2 f T1 d4 (178 ?10?3 m)3 ? 75 ?10-3 kg 2 E ? 1.6067 ? ? 751.778Hz)?1.008 ( -3 4 (8 ? 10 m) = 9.45 ?1010 pa 六、思考题 1、如何尽快找到试样基频共振频率? 答:测试前根据试样的材质、尺寸、质量,通过公式式估算出共振频率的数值, 在上述频率附近寻找。 2、测量时为何要将换能器放在在试样的节点附近? 答:理论推导时要求试样做振动,应把换能器在试样的节点上,但这样做就 不能激发试样振动。因此,实际换能器都要偏离节点。偏离节点越大,引入 的误差就越大。故要将换能器放在试样的节点附近。



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