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动态法测杨氏模量实验报告

作者:永乐国际 来源:永乐国际 日期:2021-02-02 01:30 人气:

  动态法测杨氏模量实验报告_物理_自然科学_专业资料。动态法测量杨氏模量 一、 实验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能,熟悉信号源和示波器

  动态法测量杨氏模量 一、 实验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。 2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能,熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观 察判断样品共振的方法。 4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 二、 实验原理: 在一定条件下,试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模 量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率,就可以计算出试样在不同温度下的杨 氏模量。 根据杆的横振动方程式 4 y S 2 y 0 x 4 EJ t 2 (1) 式中 为杆的密度,S 为杆的截面积, J y 2dS 称为惯量矩(取决于截面的形状),E s 即为杨氏模量。 如图1所示,长度L远远大于直径d(Ld)的一细长棒,作微小横振动(弯曲振动)时满足 的动力学方程(横振动方程)为 4 y S 2 y 0 x 4 EJt 2 (1) 棒的轴线沿x方向,式中y为棒上距左端x处截面的y方向位 移,E为杨氏模量,单位为Pa或N/m2;ρ为材料密度;S为 yy L x O xx x 图 1 细长棒的弯曲振动 截面积;J为某一截面的转动惯量, J s y 2ds 。 横振动方程的边界条件为:棒的两端(x=0、L)是端,端点既不受正应力也不受切向力。 用分离变量法求解方程(1),令 y(x,t) X (x)T(t) ,则有 1 d 4 X S ? 1 d 2T X dx4 EJ T dt 2 (2) 由于等式两边分别是两个变量x和t的函数,所以只有当等式两边都等于同一个时等式才 成立。假设此为K4,则可得到下列两个方程 d4X K4X 0 dx4 d 2T K 4 EJ T 0 dt 2 S 如果棒中每点都作简谐振动,则上述两方程的通解分别为 (3) (4) TX((tx) )bac1ocsh(Kxt a2 ) shKx a3 cos Kx a4 sin Kx (5) 于是可以得出 y(x,t) (a1chKx a2shKx a3 cos Kx a4 sin Kx) ? b cos(t ) 式中 (6) 1 K 4 EJ S 2 (7) 式(7)称为频率公式,适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或 支撑点)在试样的节点,则根据边界条件可以得到 cos KL ? chKL 1 (8) 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系 KnL=0,4.730,7.853,10.996,14.137,…… (9) 其中第一个根K0L=0对应试样静止状态;第二个根记为K1L=4.730,所对应的试样振动频率称 为基振频率(基频)或称固有频率,此时的振动状态如图2(a)所示;第三个根K2L=7.853 所对应的振动状态如图2(b)所示,称为一次谐波。由此可知,试样在作基频振动时存在两 个节点,它们的分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式,可得到 (a) n=1 (b) n=2 图 2 两端的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形 杨氏模量为 E 1.9978103 L4S 2 7.8870102 L3m f 2 J J 如果试样为圆棒(dL),则 J d 4 ,所以式(10)可改写为 64 E 1.6067 L3m f 2 d4 同样,对于矩形棒试样则有 (10) (11) E矩 6.9464 L3m bh3 f 2 (12) 式中m为棒的质量,f为基频振动的固有频率,d为圆棒直径,b和h分别为矩形棒的宽度和高 度。 如果圆棒试样不能满足dL时,式(11)应乘上一个修正系数T1,即 E 1.6067 L3m d4 f 2T1 上式中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。 表1 径长比与修正系数的对应关系 (13) 径长比d/L 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.10 修正系数T1 1.001 1.002 1.005 1.008 1.014 1.019 1.033 1.055 由式(10)~(12)可知,对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态 杨氏模量,所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。 本实验只能测出试样的共振频率,物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念,二 者之间的关系为 f固 f共 1 1 4Q 2 (14) 上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50,共振频率和固有频率相比只偏低 0.005%,二者相差很小,通常忽略二者的差别,用共振频率代替固有频率。 动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能 器(激振器)2上,使电信号变成机械振动,再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给 试样3,使试样受迫作横振动,机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能 器(拾振器)4,这时机械振动又转变成电信号,该信号经放大处理后送示波器5显示。当信 号源的频率不等于试样的固有频率时,试样不发生共振,示波器上几乎没有电信号波形或波 形很小,只有试样发生共振时,示波器上的电信号突然增大,这时通过频率计读出信号源的 频率即为试样的共振频率。 测出共振频率,由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不 同温度下材料的杨氏模量,通过可控温加热炉可以改变试样的温度。 图3 2.李萨如图法观测共振频率 实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y 通道,示波器处于观察李



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