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实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量

作者:永乐国际 来源:永乐国际 日期:2020-07-25 22:41 人气:

  实验报告 用动态法测定金属的杨氏模量_化学_自然科学_专业资料。实验报告用动态法测定金属的杨氏模量 物理科学与技术学院 13 级弘毅班吴雨桥 【实验原理】 对于长度 L?直径 d、两段地做微小横振动的均匀细棒,其振动 满足方程 4 2 4 2

  实验报告用动态法测定金属的杨氏模量 物理科学与技术学院 13 级弘毅班吴雨桥 【实验原理】 对于长度 L?直径 d、两段地做微小横振动的均匀细棒,其振动 满足方程 4 2 4 2 42 + =0 式中,ρ 为棒的密度,S 为棒的截面积,J= 2 dS 称为惯量矩(取决 于截面的形状) ,E 为杨氏模量,y 为棒振动的位移,x 为坐标,t 为时间变量。 用分离变量方程,令 y(x,t)=X(t)T(t)代入方程,有 1 4 1 2 4 2 = 解得该振动方程的通解为 y(x,t)=(B1chKx+B2shKx+B3cosKx+B4sinKx)Acos(ωt+φ) 式中 ω= 4 2 1 称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都 是成立的。我们只要用特定的边界条件定出 K,带入特定截面的 惯量矩 J,就可以得到具体条件下的计算公式。如果悬线悬挂在试样 的节点(处在共振状态的棒中,位移恒为零的)附近,则棒的两 端均处于状态。 此时其边界条件为端横向作用力 F 和弯矩 M 均为零,即 F=- =- EJ 3 =0 弯矩 2 3 M=EJ 2 =0 故有 4 4 3 3 2 2 2 2 x=0=0 x=l=0 x=0=0 x=l=0 将通解代入边界条件,可以得到 cosKl*chKl=1,可用数值解法求得 本征值 K 和棒长 l 应满足 Kl=0, 4.730, 7.853, 10.996, 14.137, 。 。 。 一般将 K1l=4.730 所对应的频率称为基频频率。 试样在做基频振动时,存在两个节点,它们的距离端面为 0.224l 和 0.776l 处。将第一本征值 K1= 由振动的固有圆频率(基频) 4.730 代入频率表达式,得到自 ω= 4.730 4 4 1 2 解出杨氏模量 3 ?2 E=7.8870*10 2 对于直径为 d 的圆形棒,惯量矩 J= 2 2 4 dS=S(4 ) = 64 代入上式可得 E=1.6067 4 2 式中,l 为棒长,d 为棒的直径,m 为棒的质量,f 为试样共振频 3 率。在国际单位制中杨氏模量 E 的单位为 N?2 . 实际上,E 还和试样的直径与长度之比 d/l 的大小有关,所以乘 以一个修正因子 R,则有 E=1.6067R 4 2 当 l?d 时,R≈1;当 l?d 不成立时,圆棒的 R 可查表 试样 R 与 d/l 的关系 d/l R 0.01 1.001 0.02 1.002 0.03 1.005 0.04 1.008 0.05 1.014 0.06 1.019 3 当外力频率达到共振频率 ωr 时, 另一悬线处会接收到最大振幅, 而固有频率与共振频率之间的关系为 fr= = 2 ωr 1 2 2 ? 2 2 ,β为阻尼 系数。对于一般的金属材料,β 的最大值只有 ω 的 1%左右,所以可 用 fr 代替 f 计算。 实验中,由于细丝对试样的阻尼,所检测的共振频率大小是随悬 挂点的而变的。理论上,测量试样的基频振动时,悬挂点应在节 点处,即悬点距端点 0.224l 和 0.776l 处。但是在这种情况下,棒的 振动无法被激发,振幅为零,在示波器上只能看到一条直线。欲激发 棒的振动,悬点必须离开节点,故采用外延法测量试样的基频, 即测量节点周围的点的振动频率,利用他们作图延伸至节点,从 图像上得到试样的基频。 (外延法: 指所需要的数据在测量范围之外, 一般较难测量,为了求得这个值,利用已得的数据绘制出曲线,再将 曲线按原规律延长到待求值范围,在延长线部分求得所需的值。此方 法只适用于在所研究范围内没有突变的情况。 ) 【实验仪器】 功率函数信号发生器、换能器(两个)、示波器、温控器、天平、 游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等。 本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的共振频率 f。实验 中采用悬挂法。由信号发生器输出的等幅正弦波信号,加在换能器 1 上。通过换能器把电信号转变成机械振动,再由悬线(或支撑物)把 机械振动传给试样,使试样做横向振动。试样另一端的悬线(或支撑 物)把机械振动传给换能器 2,这时机械振动又转变成电信号。该信 号输入示波器中显示。 当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时, 试样不发生共振, 示波器上几乎没有波形和波形很小。 当信号发生器的频率等于试样的 固有频率时,试样发生共振,示波器的波形突然增大,这时频率计上 读出的频率就是试样在该温度下的共振频率 f。将此 f 值代入,即可 计算出该温度下的杨氏模量。 若将试样置于可控温加热炉中,不断改变加热炉的温度,即可测 出不同温度下的杨氏模量。 【实验内容】 1.测量试样的长度 l、直径 d 和质量 m 用米尺测量试样的长度 l;用游标卡尺测量试样的直径 d(注意在不 同的部位和不同的方向多次测量) ;用电子天平称量试样的质量 m。 为提高测量精度,以上各量至少测量 5 次,记入表中。 2.测量试样在室温时的共振频率 f (1) 室 温 下铜 和 不锈 钢 的 杨 氏模 量分 别 为 1.2*1011 N* ?2 和 2*1011 N*?2 ,估算出共振频率 f,以便寻找共振点。 (2)安装试样棒,对称悬挂并保持试样水平,悬丝与试样垂直, 选择适当的悬丝长度。 (3)将仪器连接好,并调整仪器到正常状态。 (4)从试样端点开始, 两悬点同时向中间移动, 每间隔 5mm 测量 一次共振频率 f,记录在表中。每次测量时,调节信号发生器的输出 频率,使示波器上观察到的共振峰的幅度达到最大值,此时信号发生 器的输出频率即为该点的共振频率。 (5)共振峰的判别(鉴频) 在寻找共振频率时,调节信号发生器要极其缓慢,到共振频率附 近时改用“频率微调”旋钮调节,换能器及整个系统都有自己的共振频 率,换能器 2 的输入伴随有许多次极大值,故测量时一定要找到真的 共振峰进行测量。 1)峰宽判别法。真的共振峰的频率范围很窄,细微地改变信号 发生器的输出频率,共振峰的幅度就会发生突变:假的共振峰频率范 围很宽。 2)幅度判别法。用手将试样托起,如果是干扰信号,则示波器 上正弦波幅度不变;如果是共振信号,则共振信号的周期不变,幅度 逐渐衰减。 3)声音判别法。发生共振时,拾振器会发生尖锐的啸叫。 3.测杨氏模量 将试样棒放入到加热炉中,升温后测出不同温度下的共振频率。 【数据处理】 Fe 测量次数 1 2 17.92 0.600 3 17.95 0.608 4 17.93 0.602 5 17.92 0.602 40.416 6 17.92 0.604 40.414 平均值 17.93 0.603 40.415 长度 l/cm 17.92 直径 d/cm 0.602 质量 m/g 40.414 40.415 40.417 40.412 d/l=0.033 R=1.005 Cu 测量次数 1 2 17.94 0.794 3 17.92 0.796 4 17.91 0.792 5 17.93 0.796 75.295 6 17.92 0.796 75.297 平均值 17.93 0.796 75.298 长度 l/cm 17.95 直径 d/cm 0.800 质量 m/g 75.297 75.299 75.301 75.297 d/l=0.044 R=1.008 共振频率测量 Cu 悬点 x/mm 5 10 15 743.3 20 742.0 25 740.4 30 740.0 35 740.0 40 740.0 共振频率 f/Hz 747.9 745.6 共振频率测量 Fe 悬点 x/mm 5 10 15 834.7 20 833.5 25 832.5 30 831.8 35 831.6 40 831.6 共振频率 f/Hz 839.3 835.6 f-x 曲 线 5 10 15 20 x/mm 25 30 35 40 回归方程 f=0.009286x^2-0.6436x+751 所以 Cu 的共振频率为 f1=751Hz f-x 曲 线 5 10 15 20 x/mm 25 30 35 40 回归方程 f=-0.0002x^3+0.023x^2-0.839x+842.7 所以 Fe 的基频 f1=842.7Hz 对 于 Cu , Ur=0.001674 E 平 均 =9.875*1010 Ue=Ur*E 平 均 =1.653*108E=E 平均±Ue=9.875*1010±1.653*108 对于 Fe, Ur=0.0068 平均 E 平均=2.02*1011Ue=Ur*E 平均=1.374*109E=E ±Ue=2.02*1011±1.374*109 【误差分析】 1.系统误差 (1)仪器误差: 1)m、l、d、f 的测量因为仪器的精度问题有一定的不确定度。 2)金属棒上的标定刻度线)理论中使用了近似估计 2)理论中用了图像法,必定会产生一定的误差。 2.随机误差 1)读数时有一定的误差。 2)温度等对各个物理量的大小有一定的影响 【注意事项】 1.试样不可随意乱放,一定要保持清洁。 2.悬挂试样时,悬丝必须将试样捆紧。测量时应尽量避免试样摆动。 3.实验中拿放东西要轻,不可敲击桌面和大声说话,以免对实验造成 影响。



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